อนุกรม

บทนิยาม     ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับจำกัด ที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป 
a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  ว่า  อนุกรมจำกัด 
ทำนองเดียวกัน  ถ้า   a1,   a2,   a3,   …,   an,  …  เป็น  ลำดับอนันต์  จะ เรียกการเขียนแสดงผลบวกในรูป
a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an  + …  ว่า   อนุกรมอนันต์

1. ความหมายของอนุกรมและสัญลักษณ์แทนการบวก

กำหนด     a1,   a2,   a3,   … ,  an                                       เป็นลำดับจำกัด

จะได้        a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an                      เป็นอนุกรมจำกัด

และ เมื่อ   a1,   a2,   a3,   …,   an,   …                               เป็นลำดับอนันต์

จะได้        a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an   +  …           เป็นอนุกรมอนันต์

จากบทนิยาม จะได้ว่า อนุกรมจำกัดมาจากลำดับจำกัด  และอนุกรมอนันต์มาจากลำดับอนันต์

จากอนุกรม  a1   +   a2   +   a3  +   …   +   an   +  …

เรียก       a1     ว่าพจน์ที่ 1    ของอนุกรม

a2     ว่าพจน์ที่ 2    ของอนุกรม

a3     ว่าพจน์ที่ 3    ของอนุกรม

an     ว่าพจน์ที่ n    ของอนุกรม

2. ตัวอย่างของอนุกรม

1.    1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99            เป็น อนุกรมจำกัด

ที่ได้จากลำดับจำกัด    1,  3,  5,  7,   …,   99

2.    1 +  2  +  4  +  …  +  2n-1  +   …       เป็น อนุกรมอนันต์

ที่ได้จากลำดับอนันต์  1,   2,   4,   …,   2n-1  ,   …

 อนุกรมเลขคณิต

ความหมายของอนุกรมเลขคณิต

กำหนด          a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d                         เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

d   เท่ากับ พจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n

ตัวอย่างของอนุกรมเลขคณิต 

1.    1  +  3  +  5  +  7  +  …  +  99            เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 1,   3,   5,   …,   99                                เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  2

2.   25  +  20  + 15  +  10  +  …        เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า 25,   20,   15,  10,   …           เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ – 5

3.  7   +  14  +  21  +  28  +  …                       เป็น อนุกรมเลขคณิต

เพราะว่า  7,   14,   21,  28,   …            เป็น ลำดับเลขคณิต 

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ  7

บทนิยาม
อนุกรมที่ได้จากลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

เมื่อ      a1,  a1 + d,   a1 + 2d,   …,    a1 + (n – 1)d                           เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้   a1  +   (a1 + d)  +  (a1 + 2d)   +  …  +   (a1 + (n – 1)d)   เป็นอนุกรมเลขคณิต

ซึ่งมี   a1  เป็นพจน์แรกของอนุกรม และ  d  เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต

จากบทนิยาม  จะได้ว่า ถ้า  a1,   a2,   a3,   …,   an   เป็น ลำดับเลขคณิต ที่มี n  พจน์

จะเรียกการเขียนแสดงผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป

a1  +  a2  +  a3 +  …  +  an               ว่า  อนุกรมเลขคณิต

และผลต่างร่วม ( d ) ของลำดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิตด้วย

การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ให้  Sn  เป็นผลบวก   n   พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

ที่มี   a1  เป็นพจน์แรก และ  d    เป็นผลต่างร่วม   จะได้

Sn  =  a1  +   (a1 + d)  +  … +  [a1+(n – 2)d]  +   [a1+(n –1)d]           -----(1)

หรือ Sn=  [a1 + (n –1)d]  +  [a1 + (n – 2)d]  + …  +  (a1 + d)    +      a1    -----(2)

สมการ (1)+(2)  จะได้

2Sn    =    [2a1 + (n –1)d]  +  [2a1 + (n –1)d] + … + [2a1 +  (n –1)d]  (n  พจน์ )

2Sn    =    n[2a1 +  (n –1)d]