สมการและอสมการ

สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ  2x  =  3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X  =  -1ซึ่งเขียนได้ว่า x2  = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง  สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า "-1 และ 1" หรือพูดว่าสมการ x2 = 1 มีคำตอบ  2  คำตอบ  คือ  -1 และ 1
สมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลัง*  ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่าสมการ เชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t + 1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว

การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ
(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
(2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม

สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5  เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้
2x + 3    =  5
2x          =  2  นำ  3  มาลบทั้งสองข้าง
x          =  1  นำ  2  มาหารทั้งสองข้าง
จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้นเราจึง สรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5

* เราเขียน 5 ได้ว่า 51 และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 52 และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 53 และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
ให้ x แทนจำนวนใด ๆ ก็ตาม
เราเขียน X  ได้ว่า X1 และเรียกเลข 1 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X ได้ว่า X2 และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X x X ได้ว่า X3 และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X5 และเรียกเลข 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
เลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

หลักข้อ (2)  ห้ามนำ O มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย O ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ห้ามนำ O มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย  = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม  ตัวอย่างเช่น สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0  นั้นมีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ O แล้วย่อมได้ O

ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย  =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย  =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่น สมการ x = 3 กับสมการ x2 = 32 ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3  มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ   3 ส่วนสมการ x2 = 32 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

สมการ  x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย  x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x =    และ  y  =  -3   เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1),  (3,0) ,  (      ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y  ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่งคือ การเขียนกราฟ
สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y  สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว  คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ 2x-2  =0 จุดบนกราฟที่  y เป็น 0  คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)
เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ  2x - 2  = 0 หรือสมการ  2x + 3 = 5 สมการ x2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x2 - 2x - 3  = 0 เราแก้ได้โดยเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3  =  y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัด        แกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 หรือ x2 - 2x = 3  ในการแก้สมการ x2 - 2x + 2 = 0  เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่าจุด (x,0) ไม่อยู่บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ  x2 - 2x + 2 = y นั่นคือไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม  x2 - 2x + 2  ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่าสมการ x2 -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

Anchorสมการเชิงเส้น
บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่าเขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว" ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ
x + y     = 20  (จำนวนหัว)
4x + 2y   = 50  (จำนวนขา)

เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ถ้าแทน x  ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียกระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)
ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้หลายวิธี แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเขียนกราฟ
คำตอบ (5, 15) สำหรับระบบสมการในโจทย์ปัญหาเรื่องชาวนากับสัตว์เลี้ยง งต้องเขียนกราฟของสมการทั้งสองจะได้เส้นตรง 2 เส้น ทุกจุดบนเส้นตรงสี น้ำเงินเป็นคำตอบของสมการ x + y = 20 ทุกจุดบนเส้นตรงสีแดง เป็นคำตอบของสมการ 4x + 2y = 50 จุดตัดคือ (5, 15) จึงเป็นคำตอบของสมการทั้งคู่พร้อมๆ กันและเป็นคำตอบของระบบสมการนี้
เราจึงสรุปได้ว่า ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้น ที่มีตัวแปร 2 ตัว 2 สมการ อาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่มีคำ ตอบเลยในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองขนานกัน หรือมีคำตอบมากมายแจกแจงไม่หมดในกรณี ที่เส้นตรงทั้งสองทับกัน
แม้ว่าระบบสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัว จะไม่ใช่ระบบสมการเชิงเส้นเราก็อาจแก้ไขได้โดยวิธีเขียนกราฟ เช่น
ตัวอย่าง    ระบบสมการเชิงเส้น  x2 + 4y2 = 4
y = x2 - 2
มีคำตอบ 4 คำตอบ ค่าโดยประมาณคือ (-1.1,-.8), (1.1,-8), (-1.6,.6), 1.6,.6

Anchorสมการไดโอแฟนทีน
สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า  สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)

ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละเท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กัน ก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"
ถ้าสมมุติว่ามีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย  5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x  และ n+1 = 7y  เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y  เมื่อ x และ y  แทนจำนวนเต็มบวก

จะเห็นว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y)  เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ  ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,... ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่าจำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ ต้องการ ก็จะได้คำตอบ  34

สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีนที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x2 + y2  = z2 ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส*(Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาวที่เป็นจำนวนเต็ม ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบกันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตร ต่อไปนี้ คือ

x = a2 - b2,y = 2ab และ  z = a2 + b2 เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็ม เช่น ถ้าให้ a = 2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2  เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1เราจะได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น

เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2  ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12  ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำ ตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบเลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือ ไม่ เช่น สมการ xn + yn = zn  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่