ความหมายของฟังก์ชัน

 ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน 

นั่นคือ       ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2 
 

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน 

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน 

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน 

 ฟังก์ชันจาก A ไป B

• ฟังก์ชันจาก A ไป B 
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B 
 

• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
         f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B 
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f
แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f

หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า
f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2
 

• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด 
ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df

 ♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A 
ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)

  ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A 
  ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

 ฟังก์ชันที่ควรรู้จัก

• ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function)

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง

• ฟังก์ชันขั้นบันได (step function)

กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได

• ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา

• ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function) 

 • ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function)

• ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function)

ฟังก์ชั่นอินเวอส์

 เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้ เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

ตัวอย่างเช่น กำหนด f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)} 
∴ f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน 
กำหนด g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)} 
∴ g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน
เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง  

   สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส
กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน 
1. f - 1 เป็นฟังก์ชัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 
2. Df = R f - 1 และ Rf = Df - 1 

ฟังก์ชั่นคอมโพสิท

 ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg