ประพจน์

บทนิยาม        ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง 
ตัวอย่างเช่น  
• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้   → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ 
• ใครทำจานแตก  → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก  → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ 

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ  

  เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้  

  1. ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)  

  2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)  

  3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)  

  4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" 
การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน  

  5. นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p 

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ 
p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p 
p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) 
p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) 
p → q  สมมูลกับ ~p ∨ q
p → q สมมูลกับ ~q → ~p
p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) 

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ 
~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)  

สัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย 
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้ 
p ∨ ~q [ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q 
~(p ∧ ~q) [ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p 
(p ∧ q) → p  (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
(p ∧ q) → q  (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
p → (p ∨ q)  (p → q) ⇔ (~p ∨ q)
q → (p ∨ q)  (p → q) ⇔ (~q → ~p)
[ p ∧ ( p → q)] → q  (~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q  ( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] 
ข้อสังเกต ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์