คู่อันดับและผลคุณคาร์ทีเซียน

• คู่อันดับ
          คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

  สมบัติของคู่อันดับ
  1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b 
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d 
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d 

• ผลคูณคาร์ทีเซียน 
          ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } 

 สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน 
  กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว  

1.A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø

2. A × Ø = Ø × A = Ø

3. A × ( B ∪ C )  = (A× B) ∪(A × C) 
(A ∪ B) × C  = (A× C) ∪(B × C)

4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)    
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)    

5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C)    
(A - B) × C ) = (A× C) - (B × C)    

6. ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C

7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)

8. ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์

ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์

• ความสัมพันธ์ 
          กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B
และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
 
ตัวอย่างเช่น กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x } 
∴ r = { (1,2), (2,4) } 
  หมายเหตุ (x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y 
   
โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ 
กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B 

โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr

   Dr = { x | (x, y) } ∈ r
 

เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

      Rr = { y | (x, y) } ∈ r

หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้  
1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ 

บทนิยาม       ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R  

อินเวอร์สของความสัมพันธ์

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1

การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้

วิธีที่ 1  สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}
∴ r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1}

วิธีที่ 2  สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม

สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์
 
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B

1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต  B ไปเซต A
2. D r = R r-1 และ R r = D r-1

กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์

เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้

  วิธีที่ 1 
1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1
2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1

  วิธีที่ 2 
1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r
2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y

# เซต                                             # เลขยกกำลัง                                      # จำนวนจริง
# ความสัมพันธ์                                   # ฟังก์ชัน                                           # ตรรกศาสตร์
# ลำดับ                                           # อนุกรม                                        # ความน่าจะเป็น
# สถิติ                                       # สมการและอสมการ                                  # แหล่งอ้างอิง
# ผู้จัดทำ                                               # แบบทดสอบ