การเเก้อสมการตัวเเปรเดียว

บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป 
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n" 

ตัวอย่างเช่น x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 
4x2 + 4x +1 = 0 
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 

• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ 

ทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ 
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) 

ทฤษฎีบทตัวประกอบ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 

แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว 
นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) 

ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 

ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว 
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an 
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0

ตัวอย่างที่ 1  จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0 
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) 
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18) 
= (x-1)(x-3)(x-6) 
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0 
x = 1, 3, 6 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6} 

ตัวอย่างที่ 2  จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0 
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0 
= 27 - 9 - 15 - 3 
= 0 
∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x) 
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1) 
= (x-3)(x+1)(x+1) 
x3 - x2 - 5x - 3 = 0 
(x-3)(x+1)(x+1) = 0 
x = 3, -1 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3} 

สมบัติการไม่เท่ากัน

บทนิยาม a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b 
a > b     หมายถึง    a มากกว่า b 

• สมบัติของการไม่เท่ากัน 
กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 
1. สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 
3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 
4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc 
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 
6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม a ≤ b  หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b 
a ≥ b  หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c  หมายถึง a < b และ b < c 
a ≤ b ≤ c  หมายถึง a ≤ b และ b ≤ 

ช่วงของจำนวนจริงเเละการเเก้อสมการ

• ช่วงของจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b 

1. ช่วงเปิด (a, b) 
(a, b) = { x | a < x < b }  

2. ช่วงปิด [a, b] 
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }  

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] 
(a, b] = { x | a < x ≤ b }  

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) 
[a, b) = { x | a ≤ x < b }  

5. ช่วง (a, ∞) 
(a, ∞) = { x | x > a}  

6. ช่วง [a, ∞) 
[a, ∞) = { x | x ≥ a}  

7. ช่วง (-∞, a) 
(-∞, a) = { x | x < a}  

8. ช่วง (-∞, a]
(-∞, a] = { x | x ≤ a}  

• การแก้อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc