ประโยคเปิด  ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณและค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด

            จากที่กล่าวมาแล้วข้างต้นว่า  ประโยคหรือข้อความใดที่มีตัวแปรเข้ามาเกี่ยวข้องและเราไม่สามารถหาค่าความจริงได้          เราเรียกประโยคนั้นว่า  ประโยคเปิด
            ประโยคเปิดสามารถทำให้เป็นประพจน์ได้  ถ้าเรานำค่าบางค่ามาแทนตัวแปรในประโยคเปิด ซึ่งจะมีผลทำให้เราทราบทันที  ว่าประโยคเปิดเหล่านี้เป็นจริงหรือเท็จ

สรุป    ประโยคบอกเล่าที่มีตัวแปรอาจจะเป็นประพจน์ได้ถ้าประกอบด้วย  3  ส่วนที่สำคัญต่อไปนี้
                  1.    ส่วนที่เป็นประโยคเปิด                                 2.  ส่วนที่บ่งบอกถึงเอกภพสัมพัทธ์
                  3.    ส่วนที่บ่งบอกถึงตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งประมาณ

         ในวิชาตรรกศาสตร์  จะมีตัวบ่งปริมาณอย่างคร่าว  ๆ  อยู่  2  ชนิด  คือ
1.   ตัวบ่งปริมาณ  “ ทั้งหมด ”  ( Universal   Quantifier )   ได้แก่คำว่า  “ ทั้งหมด ”  ,  “ ทุก ” ,  “ แต่ละ ”  เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้ทุกสิ่งทุกอย่างในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์  ∀ ( all  )   แทนตัวบ่งปริมาณ   “ ทั้งหมด ”  นั่นคือ ถ้าให้  P ( x )  แทน  ประโยคเปิด  หมายถึง  สำหรับทุกๆ  x  ใน  U ( เอกภพสัมพัทธ์ )  มีเงื่อนไข P ( x )

2.   ตัวบ่งปริมาณ   “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ”   ( Existential   Quantifier )   ได้แก่คำว่า   “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ”   ,  “ มีบางตัว ”    เป็นต้นซึ่งหมายถึงต้องใช้อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์และใช้สัญลักษณ์ ∃ ( some  )   แทนตัวบ่งปริมาณ   “ มีอย่างน้อยหนึ่ง ”   นั่นคือ    ถ้าให้   P ( x )  แทน  ประโยคเปิด       หมายถึง  มี  x  บางตัว  ใน  U  ( เอกภพสัมพัทธ์ )  มีเงื่อนไข    P ( x )

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

1.  ประโยค  ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  แทนตัวแปร  x  ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
2.   ประโยค ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ  ก็ต่อเมื่อ  แทนตัวแปร  x  ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.   ประโยค  ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  แทนตัวแปร  x  ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4.   ประโยค ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ  ก็ต่อเมื่อ  แทนตัวแปร  x  ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

ค่าความจริงของประโยคที่มีบ่งปริมาณสองตัว

1.   ประโยค ∀x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ  b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นจริงเสมอ
2.   ประโยค ∀x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ  b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ
3.   ประโยค ∃x∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ   b บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นจริง 
4.   ประโยค ∃ x ∃ y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ  b ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ P(a,b) เป็นเท็จ
5.  ประโยค ∀x∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ประโยค    ∃y [P(a, y)] เป็นจริง 
6.  ประโยค  ∀x ∃y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a  บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วทำให้ประโยค ∃y [P(a, y)] เป็นเท็จ
7.   ประโยค ∃x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นจริง ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยค         ∀y [P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง 
8.   ประโยค ∃x∀y [P(x,y)] มีค่าความเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a  ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้วประโยค         ∀y [P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ(นั่นคือไม่สามารถหาค่าของ a ซึ่งทำให้ประโยค ∀y [P(a, y)] เป็นจริงได้เลย)