หน้าแรก | บล็อก | npskrulouis's blog
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:fcc6febd3b8322ae8fcee2ff15871f8e' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\n<b>แคลคูลัส</b> เป็นสาขาหลักของ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C\" title=\"คณิตศาสตร์\">คณิตศาสตร์</a>ซึ่งพัฒนามาจาก<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%8A%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95\" title=\"พีชคณิต\">พีชคณิต</a> <a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95\" title=\"เรขาคณิต\">เรขาคณิต</a> และปัญหาทาง<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B4%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%AA%E0%B9%8C\" title=\"ฟิสิกส์\">ฟิสิกส์</a> แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้\n</p>\n<p>\nแนวคิดแรกคือ <b>แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)</b> เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหา<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C\" title=\"อนุพันธ์\">อนุพันธ์</a>ของ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99\" title=\"ฟังก์ชัน\">ฟังก์ชัน</a>ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา <a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%87%E0%B8%A7\" title=\"ความเร็ว\">ความเร็ว</a>, <a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B9%88%E0%B8%87\" title=\"ความเร่ง\">ความเร่ง</a> หรือ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99\" title=\"ความชัน\">ความชัน</a>ของ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B9%82%E0%B8%84%E0%B9%89%E0%B8%87\" title=\"เส้นโค้ง\">เส้นโค้ง</a> บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์\n</p>\n<p>\nแนวคิดที่สองคือ <b>แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus)</b> เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหา<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88\" title=\"พื้นที่\">พื้นที่</a>หรือ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3\" title=\"ปริมาตร\">ปริมาตร</a>ของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%9F\" title=\"กราฟ\">กราฟ</a>ของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้<a href=\"http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%9E%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%98%E0%B9%8C&amp;action=edit&amp;redlink=1\" title=\"ทฤษฎีปริพันธ์ (หน้านี้ไม่มี)\" class=\"new\">ทฤษฎีปริพันธ์</a> (หรือ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%95\" title=\"อินทิเกรต\" class=\"mw-redirect\">อินทิเกรต</a>) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร\n</p>\n<p>\nทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดย<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA\" title=\"ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส\">ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส</a>กล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของ<a href=\"http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%AB%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%8D\" title=\"เหรียญ\">เหรียญ</a>อันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็น<a href=\"http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9C%E0%B8%81%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%99&amp;action=edit&amp;redlink=1\" title=\"ฟังก์ชันผกผัน (หน้านี้ไม่มี)\" class=\"new\">ฟังก์ชันผกผัน</a>ของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า\n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:fcc6febd3b8322ae8fcee2ff15871f8e' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:01702c42e4c916e107a738d962a24ea5' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nนายอิทธิพล ทองพุฒ ม.6/2 เลขที่ 7 โรงเรียนนนทบุรีพิยาคม\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<b style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: baseline; background-color: transparent\">อนุพันธ์</b><b style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: baseline; background-color: transparent\"> :: ว่าด้วยลิมิต</b>\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nแคลคูลัสเป็นวิชาอเนกประสงค์ เอาไปใช้กับอะไรก็ได้ ไม่เฉพาะหาอัตราเร็วหรืออัตราการเจริญเติบโต การคำนวณทางแคลคูลัสต้องการวัตถุดิบที่เป็น “ฟังก์ชันต่อเนื่อง” แปลว่าเป็นปริมาณอะไรก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลง และเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป มีความต่อเนื่อง ไม่กระโดดเป็นขั้นๆ สามารถนำมาคำนวณเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดหนึ่งได้ทั้งนั้น\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nจากความหมายทางเรขาคณิต เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็น “ลิมิต” ของความชันกราฟรอบๆจุดจุดหนึ่ง สมมุติว่าต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจะสร้างสูตรของอนุพันธ์โดยใช้ความชันกราฟดังนี้\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nจุดที่อยู่รอบๆจุด x หาได้โดยขยับไปข้างๆ x เป็นระยะ h ซึ่งมีค่าน้อยๆทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ จะได้จุดใหม่คือ x+h\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x คือ f(x) และค่าของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปเมื่อเลื่อนจุดคือ f(x+h)\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยหาได้จากความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, f(x)), และ (x+h, f(x+h))\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nอัตราการเปลี่ยนแปลง (เฉลี่ย) = <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bf%28x+%2B+h%29+-+f%28x%29%7D%7D%7Bh%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" title=\"\\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nอนุพันธ์ที่จุด x (เขียนว่า f’(x) หรือ <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bdy%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{dy}}{{dx}}\" title=\"\\frac{{dy}}{{dx}}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> เมื่อ y = f(x)) หาได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ว่านี้เมื่อบีบให้ h แคบลงๆเรื่อยๆจนกลายเป็น 0 จะได้ว่า\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%28x%29+%3D+%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bh+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7Bf%28x+%2B+h%29+-+f%28x%29%7D%7D%7Bh%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(x) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" title=\"f\'(x) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nค่าของ f’(x) ก็จะเป็นความชันกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x จุดเดียว ไม่ใช่ความชันเฉลี่ยอีกต่อไป เพราะจุด x กับ x+h นั้นเลื่อนมาอยู่ติดกันแล้ว ถ้ามีฟังก์ชันความสูงของต้นไม้เมื่อเทียบกับเวลามาให้ เราก็สามารถหาได้ว่าตอนเที่ยงวันที่ 3 พอดีเป๊ะ ต้นไม้มีอัตราการเจริญเติบโตเท่าไหร่\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n&nbsp;\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n&nbsp;\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<b style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: baseline; background-color: transparent\">อนุพันธ์</b><b style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: baseline; background-color: transparent\"> :: สูตร</b>\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29+%3D+%7Bx%5E2%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f(x) = {x^2}\" title=\"f(x) = {x^2}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%28x%29+%3D+%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bh+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7Bf%28x+%2B+h%29+-+f%28x%29%7D%7D%7Bh%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(x) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" title=\"f\'(x) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nเราจะได้\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%281%29+%3D+%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bh+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7B%7B%7B%281+%2B+h%29%7D%5E2%7D+-+%7B1%5E2%7D%7D%7D%7Bh%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}\" title=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nเมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%281%29+%3D+%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bh+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%7B2h+%2B+%7Bh%5E2%7D%7D%7D%7Bh%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{2h + {h^2}}}{h}\" title=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} \\frac{{2h + {h^2}}}{h}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nจากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=h+%5Cto+0&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"h \\to 0\" title=\"h \\to 0\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%281%29+%3D+%5Cmathop+%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bh+%5Cto+0%7D+2+%2B+h+%3D+2&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} 2 + h = 2\" title=\"f\'(1) = \\mathop {\\lim }\\limits_{h \\to 0} 2 + h = 2\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29+%3D+%7Bx%5E2%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f(x) = {x^2}\" title=\"f(x) = {x^2}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=y+%3D+%7Bx%5E2%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"y = {x^2}\" title=\"y = {x^2}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%27%28x%29+%3D+2x&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"f\'(x) = 2x\" title=\"f\'(x) = 2x\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nแปลว่าความชันของกราฟ <img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=y+%3D+%7Bx%5E2%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"y = {x^2}\" title=\"y = {x^2}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nการหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bd%28c%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%3D+0&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0\" title=\"\\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> เมื่อ c เป็นค่าคงที่\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bd%28kx%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%3D+k&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k\" title=\"\\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" /> เมื่อ k เป็นค่าคงที่\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bd%28%7Bx%5En%7D%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%3D+n%7Bx%5E%7Bn+-+1%7D%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}\" title=\"\\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bd%28f%28x%29+%5Cpm+g%28x%29%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7Bd%28f%28x%29%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%5Cpm+%5Cfrac%7B%7Bd%28g%28x%29%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{d(f(x) \\pm g(x))}}{{dx}} = \\frac{{d(f(x))}}{{dx}} \\pm \\frac{{d(g(x))}}{{dx}}\" title=\"\\frac{{d(f(x) \\pm g(x))}}{{dx}} = \\frac{{d(f(x))}}{{dx}} \\pm \\frac{{d(g(x))}}{{dx}}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cfrac%7B%7Bd%28kf%28x%29%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D+%3D+k%5Cfrac%7B%7Bd%28f%28x%29%29%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\\frac{{d(f(x))}}{{dx}}\" title=\"\\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\\frac{{d(f(x))}}{{dx}}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nเพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%28f%28x%29+%5Ccdot+g%28x%29%29%27+%3D+f%28x%29g%27%28x%29+%2B+g%28x%29f%27%28x%29&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"(f(x) \\cdot g(x))\' = f(x)g\'(x) + g(x)f\'(x)\" title=\"(f(x) \\cdot g(x))\' = f(x)g\'(x) + g(x)f\'(x)\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nเราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<img src=\"http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%28+%7B%5Cfrac%7B%7Bf%28x%29%7D%7D%7B%7Bg%28x%29%7D%7D%7D+%5Cright%29%27+%3D+%5Cfrac%7B%7Bg%28x%29f%27%28x%29+-+f%28x%29g%27%28x%29%7D%7D%7B%7B%7Bg%5E2%7D%28x%29%7D%7D&amp;bg=ffffff&amp;fg=444444&amp;s=0\" alt=\"\\left( {\\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \\right)\' = \\frac{{g(x)f\'(x) - f(x)g\'(x)}}{{{g^2}(x)}}\" title=\"\\left( {\\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \\right)\' = \\frac{{g(x)f\'(x) - f(x)g\'(x)}}{{{g^2}(x)}}\" class=\"latex\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; border: none; outline: 0px; font-size: 15px; vertical-align: middle; background-color: transparent; max-width: 100%\" />\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n&nbsp;\n</p>\n<p align=\"center\" style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nเราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\nสูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น\n</p>\n<p style=\"margin: 0px; padding: 0px 0px 20px; border: 0px; outline: 0px; font-size: 0.95em; vertical-align: baseline; background-color: #eeeeee; line-height: 23px; color: #444444; font-family: Helvetica-Neue, Helvetica, Arial, sans-serif\">\n<a href=\"http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/15/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-3/\">http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/15/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-3/</a> \n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:01702c42e4c916e107a738d962a24ea5' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:0de9a88d2e2d7963a3a55f771fc0cfb2' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\nนางสาวประวีณา  รัตนรุ่งโสภณ  ม.6/2  เลขที่ 19\n</p>\n<p>\nโรงเรียน นนทบุรีพิทยาคม\n</p>\n<p>\n<b>แคลคูลัส</b> เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้\n</p>\n<p>\nแนวคิดแรกคือ <b>แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)</b> เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์\n</p>\n<p>\nแนวคิดที่สองคือ <b>แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus)</b> เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร\n</p>\n<p>\nทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของ กันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่าง เดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า\n</p>\n<p>\nอนึ่ง การศึกษาแคลคูลัสอย่างละเอียดในเวลาต่อมา ได้ทำให้เกิดศาสตร์ใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย เช่น คณิตวิเคราะห์ และ ทฤษฎีการวัด เป็นต้น\n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:0de9a88d2e2d7963a3a55f771fc0cfb2' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:c37f09bf060ec4a66da3c766b2cf0fd4' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\">นายณํชพล บุญจูบุตร ม.6/2 เลขที่ 3 โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม</span>\n</p>\n<p style=\"font-family: Tahoma\">\n<span style=\"background-color: #ccffcc\"><b>แคลคูลัส</b> เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เราขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้</span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\"><span style=\"font-family: Tahoma\">     แนวคิดแรกคือ</span><span style=\"font-family: Tahoma\"> </span><b style=\"font-family: Tahoma\">แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus)</b><span style=\"font-family: Tahoma\"> </span><span style=\"font-family: Tahoma\">เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์</span> </span>\n</p>\n<p><span style=\"background-color: #ccffcc\"><span style=\"font-family: Tahoma\" class=\"mw-headline\" id=\".E0.B9.81.E0.B8.84.E0.B8.A5.E0.B8.84.E0.B8.B9.E0.B8.A5.E0.B8.B1.E0.B8.AA.E0.B9.80.E0.B8.8A.E0.B8.B4.E0.B8.87.E0.B8.AD.E0.B8.99.E0.B8.B8.E0.B8.9E.E0.B8.B1.E0.B8.99.E0.B8.98.E0.B9.8C\"><b>แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์<br />\n      </b></span><span style=\"font-family: Tahoma\">อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตร </span><i style=\"font-family: Tahoma\">อัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา</i><span style=\"font-family: Tahoma\"> สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้</span><br style=\"font-family: Tahoma\" /><br />\n<span style=\"font-family: Tahoma\">      เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (</span><b style=\"font-family: Tahoma\">อนุพันธ์</b><span style=\"font-family: Tahoma\">) ระหว่างค่าของฟังก์ชั่น กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆ ของอนุพันธ์คือ ลิมิตของอัตราส่วนในการเปลี่ยนแปลง (difference quotient). อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน </span><i style=\"font-family: Tahoma\">แรง = มวล×ความเร่ง</i><span style=\"font-family: Tahoma\"> มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า</span><br style=\"font-family: Tahoma\" /><br />\n</span></p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\"><span style=\"font-family: Tahoma\">       อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton\'s Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้</span> </span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\">http://mathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main%20menu/MA111/Chapter%202/Chapter2-complete.pdf</span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\">http://guru.sanook.com/pedia/topic/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA/</span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffcc\">ครับผม :D:D </span>\n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:c37f09bf060ec4a66da3c766b2cf0fd4' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:993c4274c5167d37521e8e51ccab9ad5' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\nนายอินทัช  ชำนาญหัตถ์ ม.6/2 เลขที่ 10\n</p>\n<p>\n  โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม\n</p>\n<p>\n<span style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\">ปัญหาบางอย่างในแคลคูลัสต้องหาอัตราของการเปลี่ยนแปลงหรือสองหรือมากกว่าตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรร่วมเวลาคือ</span><span style=\"font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\"> </span><span style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\">เพื่อแก้ปัญหาเหล​​่านี้, อัตราที่เหมาะสมของการเปลี่ยนแปลงจะถูกกำหนดโดยความแตกต่างนัยเกี่ยวกับเวลา</span><span style=\"font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\"> </span><span style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\">โปรดทราบว่าอัตราที่กำหนดของการเปลี่ยนแปลงเป็นบวกถ้าเพิ่มตัวแปรตามด้วยความเคารพต่อเวลาและเชิงลบหากตัวแปรลดลงด้วยความเคารพต่อเวลา</span><span style=\"font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\"> </span><span style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; font-size: 14px; line-height: 21px; background-color: #ffffff; font-family: Verdana, Arial, sans-serif; color: #333333\">สัญญาณของอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรการแก้ปัญหาด้วยความเคารพต่อเวลายังจะแสดงให้เห็นว่าตัวแปรที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยความเคารพต่อเวลา</span>\n</p>\n<p>\n<a href=\"http://translate.google.co.th/translate?hl=th&amp;langpair=en%7Cth&amp;u=http://www.cliffsnotes.com/study_guide/Related-Rates-of-Change.topicArticleId-39909,articleId-39897.html&amp;ei=ma-bUNufCoSNrgeU04GwAg\">http://translate.google.co.th/translate?hl=th&amp;langpair=en%7Cth&amp;u=http://www.cliffsnotes.com/study_guide/Related-Rates-of-Change.topicArticleId-39909,articleId-39897.html&amp;ei=ma-bUNufCoSNrgeU04GwAg</a> \n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:993c4274c5167d37521e8e51ccab9ad5' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:49509a0a2ea79bfff5724f8182f5dd86' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\n<span style=\"background-color: #ccffff; color: #0000ff\">นางสาวจิตติมาภรณ์ จันทศิลา ชั้นม.6/2 เลขที่ 8<br />\nโรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม</span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffff; color: #0000ff\"> <b style=\"font-size: 11px; font-family: tahoma\"><big style=\"font-size: 12pt\">บทความแคลคูลัส</big></b></span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"font-size: 14px; background-color: #ccffff; font-family: tahoma\"><span style=\"color: #0000ff\">       แคลคุลัส เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิตและเรขาคณิต เกิดจากการรวมกันของสองแนวคิดหลัก แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) คือทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการอนุพันธ์ซึ่งพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, ความเร็ว, ความเร่ง และความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้ แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เกี่ยวข้องกับแนวคิดในการอินทิเกรต และใช้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับพื้นที่ที่ล้อมด้วยกราฟของฟังก์ชัน และแนวคิดเกี่ยวกับปริมาตร</span></span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"font-size: 14px; background-color: #ccffff; font-family: tahoma\"><span style=\"color: #0000ff\">        เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆของอนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนในการปลี่ยนแปลง</span></span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"background-color: #ccffff; color: #0000ff\"><span style=\"font-size: 14px; font-family: tahoma\"></span><span style=\"font-size: 14px; font-family: tahoma\">        อนุพันธ์ของฟังก์ชันกล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้นๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชันโดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถามซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจไม่คิดว่าไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้</span></span>\n</p>\n<p>\n<span style=\"font-size: 14px; background-color: #ffffff; font-family: tahoma\"><span style=\"color: #ff00ff\"></span></span></p>\n<div>\n<span style=\"font-size: small; font-family: verdana, geneva, lucida, \'lucida grande\', arial, helvetica, sans-serif\">http://www.tatc.ac.th/external_newsblog.php?links=3386</span>\n</div>\n<div>\n \n</div>\n<div>\n \n</div>\n<div>\nค่ะ <img src=\"/sites/all/modules/tinymce/tinymce/jscripts/tiny_mce/plugins/emotions/images/smiley-embarassed.gif\" title=\"Embarassed\" alt=\"Embarassed\" border=\"0\" /><img src=\"/sites/all/modules/tinymce/tinymce/jscripts/tiny_mce/plugins/emotions/images/smiley-laughing.gif\" title=\"Laughing\" alt=\"Laughing\" border=\"0\" /><img src=\"/sites/all/modules/tinymce/tinymce/jscripts/tiny_mce/plugins/emotions/images/smiley-laughing.gif\" title=\"Laughing\" alt=\"Laughing\" border=\"0\" /><img src=\"/sites/all/modules/tinymce/tinymce/jscripts/tiny_mce/plugins/emotions/images/smiley-laughing.gif\" title=\"Laughing\" alt=\"Laughing\" border=\"0\" /> \n</div>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:49509a0a2ea79bfff5724f8182f5dd86' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:92d28513f550745fbd8c8ddc91ede116' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\nนายอาทิตย์ สุขชู เลขที่ 16 ชั้น ม.6/2 โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม\n</p>\n<p>\nนิยามเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลง \n</p>\n<p>\nเพิ่มเติม  <a href=\"http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/14/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-2/\">http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/14/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-2/</a>\n</p>\n<p>\n อย่างงี้หรือป่าวครับอาจารย์ \n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:92d28513f550745fbd8c8ddc91ede116' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: SELECT data, created, headers, expire, serialized FROM cache_filter WHERE cid = '3:cbe806487987ebaaf9ec8cf407241787' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 27.
  • user warning: Table 'cache_filter' is marked as crashed and should be repaired query: UPDATE cache_filter SET data = '<!--paging_filter--><p>\nนางสาวจิตติมาภรณ์ จันทศิลา ชั้นม.6/2 เลขที่ 8<br />\nโรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม\n</p>\n<p>\nส่งทางไหนหรอคะอาจารย์ ? \n</p>\n', created = 1719751833, expire = 1719838233, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:cbe806487987ebaaf9ec8cf407241787' in /home/tgv/htdocs/includes/cache.inc on line 112.

อัตรการเปลี่ยนแปลง

เมื่อ จันทร์, 05/11/2012 - 23:32 | แก้ไขล่าสุด จันทร์, 05/11/2012 - 23:33| โดย npskrulouis
รูปภาพของ npskrulouis

ให้นักเรียนศึกษา
1. บทนิยามเกี่ยวกับ อัตราการเปลี่ยนแปลง
2. สืบค้นเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลง ยกตัวอย่างพร้อมทั้งระบุแหล่งสืบค้น
3. ส่งงานวันที่ 9 พ.ย. 2555 

npskrulouis's blog |  ล็อกอิน เพื่อแสดงความคิดเห็น |  อ่าน 21828 ครั้ง
nps13524 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 21:31
รูปภาพของ nps13524

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์

แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

NPS11939 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 20:57

นายอิทธิพล ทองพุฒ ม.6/2 เลขที่ 7 โรงเรียนนนทบุรีพิยาคม

อนุพันธ์ :: ว่าด้วยลิมิต

แคลคูลัสเป็นวิชาอเนกประสงค์ เอาไปใช้กับอะไรก็ได้ ไม่เฉพาะหาอัตราเร็วหรืออัตราการเจริญเติบโต การคำนวณทางแคลคูลัสต้องการวัตถุดิบที่เป็น “ฟังก์ชันต่อเนื่อง” แปลว่าเป็นปริมาณอะไรก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลง และเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบค่อยเป็นค่อยไป มีความต่อเนื่อง ไม่กระโดดเป็นขั้นๆ สามารถนำมาคำนวณเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดจุดหนึ่งได้ทั้งนั้น

จากความหมายทางเรขาคณิต เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็น “ลิมิต” ของความชันกราฟรอบๆจุดจุดหนึ่ง สมมุติว่าต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x เราจะสร้างสูตรของอนุพันธ์โดยใช้ความชันกราฟดังนี้

จุดที่อยู่รอบๆจุด x หาได้โดยขยับไปข้างๆ x เป็นระยะ h ซึ่งมีค่าน้อยๆทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ จะได้จุดใหม่คือ x+h

ค่าของฟังก์ชันที่ตำแหน่ง x คือ f(x) และค่าของฟังก์ชันที่เปลี่ยนไปเมื่อเลื่อนจุดคือ f(x+h)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยหาได้จากความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, f(x)), และ (x+h, f(x+h))

อัตราการเปลี่ยนแปลง (เฉลี่ย) = \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

อนุพันธ์ที่จุด x (เขียนว่า f’(x) หรือ \frac{{dy}}{{dx}} เมื่อ y = f(x)) หาได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ว่านี้เมื่อบีบให้ h แคบลงๆเรื่อยๆจนกลายเป็น 0 จะได้ว่า

f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

ค่าของ f’(x) ก็จะเป็นความชันกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x จุดเดียว ไม่ใช่ความชันเฉลี่ยอีกต่อไป เพราะจุด x กับ x+h นั้นเลื่อนมาอยู่ติดกันแล้ว ถ้ามีฟังก์ชันความสูงของต้นไม้เมื่อเทียบกับเวลามาให้ เราก็สามารถหาได้ว่าตอนเที่ยงวันที่ 3 พอดีเป๊ะ ต้นไม้มีอัตราการเจริญเติบโตเท่าไหร่

 

 

อนุพันธ์ :: สูตร

ถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ f(x) = {x^2} การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร

f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}

เราจะได้

f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}

เมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น

f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2h + {h^2}}}{h}

จากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ h \to 0แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่

f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2 + h = 2

ก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f(x) = {x^2} ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ y = {x^2} ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต

ถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า

f'(x) = 2x

แปลว่าความชันของกราฟ y = {x^2}

การหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย

ฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0 เมื่อ c เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น

\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k เมื่อ k เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก

ฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง

\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}

ถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน

\frac{{d(f(x) \pm g(x))}}{{dx}} = \frac{{d(f(x))}}{{dx}} \pm \frac{{d(g(x))}}{{dx}}

\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\frac{{d(f(x))}}{{dx}}

เพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน

(f(x) \cdot g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

เราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)' = \frac{{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}

 

เราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

สูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น

http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/15/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-3/ 

NPS13526 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 20:48
รูปภาพของ NPS13526

นางสาวประวีณา  รัตนรุ่งโสภณ  ม.6/2  เลขที่ 19

โรงเรียน นนทบุรีพิทยาคม

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์

แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของ กันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่าง เดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

อนึ่ง การศึกษาแคลคูลัสอย่างละเอียดในเวลาต่อมา ได้ทำให้เกิดศาสตร์ใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย เช่น คณิตวิเคราะห์ และ ทฤษฎีการวัด เป็นต้น

nps11924 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 20:30

นายณํชพล บุญจูบุตร ม.6/2 เลขที่ 3 โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เราขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

     แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์ 

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
      อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตร อัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้

      เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชั่น กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆ ของอนุพันธ์คือ ลิมิตของอัตราส่วนในการเปลี่ยนแปลง (difference quotient). อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง = มวล×ความเร่ง มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า

       อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton's Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้ 

http://mathstat.sci.tu.ac.th/~charinthip/main%20menu/MA111/Chapter%202/Chapter2-complete.pdf

http://guru.sanook.com/pedia/topic/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA/

ครับผม :D:D 

NPS11979 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 20:26
รูปภาพของ NPS11979

นายอินทัช  ชำนาญหัตถ์ ม.6/2 เลขที่ 10

  โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม

ปัญหาบางอย่างในแคลคูลัสต้องหาอัตราของการเปลี่ยนแปลงหรือสองหรือมากกว่าตัวแปรที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปรร่วมเวลาคือ เพื่อแก้ปัญหาเหล​​่านี้, อัตราที่เหมาะสมของการเปลี่ยนแปลงจะถูกกำหนดโดยความแตกต่างนัยเกี่ยวกับเวลา โปรดทราบว่าอัตราที่กำหนดของการเปลี่ยนแปลงเป็นบวกถ้าเพิ่มตัวแปรตามด้วยความเคารพต่อเวลาและเชิงลบหากตัวแปรลดลงด้วยความเคารพต่อเวลา สัญญาณของอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรการแก้ปัญหาด้วยความเคารพต่อเวลายังจะแสดงให้เห็นว่าตัวแปรที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยความเคารพต่อเวลา

http://translate.google.co.th/translate?hl=th&langpair=en%7Cth&u=http://www.cliffsnotes.com/study_guide/Related-Rates-of-Change.topicArticleId-39909,articleId-39897.html&ei=ma-bUNufCoSNrgeU04GwAg 

nps11942 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 20:18
รูปภาพของ nps11942

นางสาวจิตติมาภรณ์ จันทศิลา ชั้นม.6/2 เลขที่ 8
โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม

 บทความแคลคูลัส

       แคลคุลัส เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิตและเรขาคณิต เกิดจากการรวมกันของสองแนวคิดหลัก แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) คือทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการอนุพันธ์ซึ่งพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, ความเร็ว, ความเร่ง และความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้ แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เกี่ยวข้องกับแนวคิดในการอินทิเกรต และใช้แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับพื้นที่ที่ล้อมด้วยกราฟของฟังก์ชัน และแนวคิดเกี่ยวกับปริมาตร

        เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆของอนุพันธ์คือลิมิตของอัตราส่วนในการปลี่ยนแปลง

        อนุพันธ์ของฟังก์ชันกล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้นๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชันโดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถามซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจไม่คิดว่าไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้

http://www.tatc.ac.th/external_newsblog.php?links=3386
 
 
ค่ะ EmbarassedLaughingLaughingLaughing 
NPS12098 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 19:36
รูปภาพของ NPS12098

นายอาทิตย์ สุขชู เลขที่ 16 ชั้น ม.6/2 โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม

นิยามเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลง 

เพิ่มเติม  http://fltsolver.wordpress.com/2011/11/14/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA-%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%97%E0%B8%B5%E0%B9%88-2/

 อย่างงี้หรือป่าวครับอาจารย์ 

nps11942 เมื่อ พฤ, 08/11/2012 - 18:55
รูปภาพของ nps11942

นางสาวจิตติมาภรณ์ จันทศิลา ชั้นม.6/2 เลขที่ 8
โรงเรียนนนทบุรีพิทยาคม

ส่งทางไหนหรอคะอาจารย์ ? 

มหาวิทยาลัยศรีปทุม ผู้ใหญ่ใจดี
 

Thaigoodview

 ช่วยด้วยครับ
นักเรียนที่สร้างบล็อก กรุณาอย่า
คัดลอกข้อมูลจากเว็บอื่นทั้งหมด
ควรนำมาจากหลายๆ เว็บ แล้ววิเคราะห์ สังเคราะห์ และเขียนขึ้นใหม่
หากคัดลอกทั้งหมด จะถูกดำเนินคดี
ตามกฎหมายจากเจ้าของลิขสิทธิ์
มีโทษทั้งจำคุกและปรับในอัตราสูง

ช่วยกันนะครับ 
ไทยกู๊ดวิวจะได้อยู่นานๆ 
ไม่ถูกปิดเสียก่อน
ขอขอบคุณในความร่วมมือครับ

อ่านรายละเอียด

ด่วน...... ขณะนี้
พระราชบัญญัติลิขสิทธิ์ (ฉบับที่ 2) พ.ศ. 2558 
มีผลบังคับใช้แล้ว 
ขอให้นักเรียนและคุณครูที่ใช้งาน
เว็บ thaigoodview ในการส่งการบ้าน
ระมัดระวังการละเมิดลิขสิทธิ์ด้วย
อ่านรายละเอียดที่นี่ครับ

 

สมาชิกที่ออนไลน์

ขณะนี้มี สมาชิก 0 คน และ ผู้เยี่ยมชม 414 คน กำลังออนไลน์

Creative Commons License

Copyright © 2000-2024 thaigoodview.com | ออกแบบและพัฒนาระบบโดย ไทยกู๊ดวิวดอทคอม
สงวนสิทธิ์ภายใต้สัญญาอนุญาต Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported License.
ท่านสามารถนำเนื้อหาไปใช้ แสดง ดัดแปลง เผยแพร่ โดยต้องอ้างอิงที่มา ห้ามใช้เพื่อการค้า และต้องใช้สัญญาอนุญาตชนิดเดียวกันนี้ไปกับงานดัดแปลงต่อยอดที่เผยเผยแพร่ต่อ