จากสมการของพาราโบลา  y  =  ax² + bx + c   เมื่อ  a, b,  c  เป็นค่าคงตัวที่  a ¹ 0          
             1)  ถ้า   b  =  0    และ   c  =  0        สมการจะเป็น  y  =  ax²                       
             2)  ถ้า   b  =  0    และ   c  ¹  0        สมการจะเป็น  y  =  ax² + c                  
             3)  ถ้า   b  ¹  0    และ   c  ¹  0         สมการจะเป็น  y  =  ax² + bx + c             
1)  พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y  =  ax²  เมื่อ a ≠ 0 
                       ศึกษาลักษณะพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y  =  ax² ,  x ¹ 0  ตามลำดับกิจกรรมต่อไปนี้                       
1.  จงเขียนกราฟของสมการ   y  =  ax²   เมื่อ  x  เป็นจำนวนเต็มใด ๆ                             
วิธีทำ           ขั้นที่ 1    เขียนตารางแสดงค่า  x  และค่า  y  บางค่าที่สอดคล้องกับ   สมการได้  ดังนี้

ขั้นที่ 2     เขียนกราฟโดยการเขียนจุดแทนคู่อันดับที่ได้จากการ
    ตารางข้างต้น   ซึ่งได้แก่  (-4, 16) , (-3, 9) , (-2 , 4) ,
           (-1 , 1) , (0 , 0) , (1, 1), (2, 4) , (3, 9) , (4, 16)

ศึกษา  สังเกต
         1. กราฟเป็นจุด
         2. มีจุดเป็นคู่  ๆ ที่อยู่ห่างจาก  แกน  y  เท่ากัน  ได้แก่  จุด (-1, 1)  กับ จุด (1, 1)  
จุด (-2, 4)  กับ จุด (2, 4) ,  จุด (-3, 9) กับ จุด (3, 9) ,  จุด (-4, 16) กับ จุด  (4, 16) ฯลฯ
         3. มีจุดต่ำสุด  คือ  จุด (0, 0)
         4. ไม่มีจุดสูงสุด  เพราะ  x และ y  เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จึงเขียนลูกศรบอกทิศทาง
ว่ามีจุดอีกมากมาย  เรียกกันไปในแนวทิศตามลูกศร

  2.  จงเขียนกราฟของสมการ   y  =  x²   เมื่อ  x  เป็นจำนวนจริงใด ๆ
       วิธีทำ ขั้นที่ 1    เขียนตารางแสดงค่า  x  และค่า  y  บางค่าที่สอดคล้องกับ
   สมการได้  ดังนี้
y  =  x²

ขั้นที่ 3     ลากเส้นต่อจุดทุกจุดเป็นเส้นโค้งดังรูป  เนื่องจาก  x, y
    เป็นจำนวนจริงใด ๆ และเขียนลูกศร  เพื่อแสดงว่า 
    ยังมีจุดอีกมากมายเรียงในทิศทางตามลูกศร
   ขั้นที่ 4     เขียนสมการไว้ตรงหัวลูกศรของกราฟ

ศึกษา  สังเกต
กราฟเป็นเส้นและมีลักษณะโค้งเหมือนกราฟข้อ 1
- จุดต่ำสุด  คือ  จุด (0, 0)
- มีจุดเป็นคู่ ๆ ที่อยู่ห่างจาก  แกน  y  เท่ากัน เรียก เส้นตรง  ที่จุดบนกราฟเป็นคู่ ๆ  อยู่ห่างจากเส้นตรงนี้เท่า ๆ กัน  ว่า  แกนสมมาตร  ของพาราโบลา
- กราฟไม่มีจุดสูงสุด

2)   พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ  y  =  ax2 + k   เมื่อ  a ≠0,  k  เป็นค่าคงตัว
    ศึกษาลักษณะกราฟของสมการ y  =  ax2 + k  ,  a  0  ได้ตามลำดับกิจกรรมต่อไปนี้

  จงเขียนกราฟของสมการ  y  =   x2 ,  y  =   x2 – 2 ,   y  =   x2 + 2   เมื่อ  x  เป็นจำนวนเต็มใด ๆ บนแกนคู่เดียวกัน   

  วิธีทำ  ขั้นที่ 1   เขียนตารางแสดงค่า  x  และค่า  y  บางค่าที่สอดคล้องกับ
  สมการได้ดังนี้

ขั้นที่ 2   จงเขียนกราฟของสมการทั้งสามบนแกนคู่เดียวกัน

ศึกษา  สังเกต
1. กราฟของทั้งสามสมการเป็นพาราโบลาหงาย
2. แกนสมมาตรของกราฟทั้งสาม  คือ  เส้นตรง  x = 0  หรือแกน y
3. กราฟของสมการ    y  =   (1/2)x²     มีจุดต่ำสุด  คือ  จุด (0, 0) 
และมีค่าต่ำสุดของ  y  คือ  0
กราฟของสมการ    y  =  (1/2) x² – 2     มีจุดต่ำสุด  คือ  จุด (0, 2)
และมีค่าต่ำสุดของ  y  คือ  2
กราฟของสมการ    y  =   (1/2)x² + 2    มีจุดต่ำสุด  คือ  จุด (0, -2) 
และมีค่าต่ำสุดของ  y  คือ  -2

จากการสังเกตพบว่า 
 1.  เมื่อจัดสมการทั้งสามให้อยู่ในรูป   y  =  ax² + k,  k  เป็นค่าคงตัว 
กราฟพาราโบลา   จะมีจุดต่ำสุด  หรือจุดสูงสุด  คือ  จุด (0 , k)
              กล่าวคือ     y  =    (1/2)x²   เขียนได้เป็น   y  =    x2 + 0,  k = 0 
              จุดต่ำสุดคือ จุด (0, 0) 
                             y  =   (1/2) x² + 2,  k  =  2      จุดต่ำสุดคือ จุด (0, 2) 
                             y  =   (1/2) x² – 2,   k = -2     จุดต่ำสุดคือ จุด (0, -2) 
  2.  ค่า  a  ของแต่ละสมการเท่ากับ  1/2 ดังนั้น ถ้าเลื่อนพาราโบลาทั้งสามทับกัน ให้จุดต่ำสุดทับกันแล้ว พาราโบลาทั้งสามจะทับกันสนิท
  3.   a  >  0   พาราโบลาหงาย
  4.   จุดต่ำสุด  หรือจุดสูงสุดของกราฟของทุกสมการอยู่บนแกน y