การทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ                                           ( Random Experiment and Sample Space )                                      การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถที่จะทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น เนื่องจากในการทดลองแต่ละครั้งอาจเกิดผลลัพธ์ หลายอย่าง เช่น                การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ ขึ้นไปในอากาศ แล้วตกลงพื้นอย่างอิสระ สามารถที่จะทำนายว่าจะออกหัว ( H ) หรือออกก้อย ( T) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ได้ล่วงหน้า

การโยนลูกเต๋า 1 ลูก ให้ตกลงพื้นอย่างอิสระ ซึ่งเราทราบว่าผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แต่ว่าผลลัพธ์มีหลายอย่าง เราไม่สามารถทำนายได้ว่าจะออกแต้มอะไร

               แซมเปิลสเปซ ( Sample Space ) คือผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดหรือเซต    ของสมาชิก ( Elements ) ที่เป็นผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดของการทดลองสุ่มใด ๆ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S ในการทดลองสุ่มครั้งหนึ่งอาจจะมีแซมเปิลสเปซหลายอันก็ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ  

ตัวอย่างที่ 1

           โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ จำนวน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ การเกิดหัว (H) กับการเกิดก้อย (T) จะเขียนแซมเปิลสเปสได้ดังนี้                   S1 = {H,T} 

ตัวอย่างที่ 2

            ทอดลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 1 ครั้ง แต้มที่ปรากฏแซมเปิลสเปสคือ                     S1 = {1,2,3,4,5,6}              ถ้าสนใจผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเกิดแต้มคู่ แซมเปิลสเปสคือ

                      S1 = {2,4,6}  

 

              เหตุการณ์ ( Event )

คือ เซตย่อยหรือสับเซต ( Subset ) ของแซมเปิลสเปส เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E  

ตัวอย่างที่ 1

                   ทอดลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 1 ครั้ง และสนใจผลลัพธ์คือแต้มที่จะเกิดขึ้นจงหา                   1.แซมเปิลสเปส (S)                  2.เหตุการณ์ที่ได้แต้มที่หารด้วย 3 ลงตัว ( E1 )                   3.เหตุการณ์ที่ได้แต้มคี่ ( E2 ) วิธีทำ 1. S = {1,2,3,4,5,6 } 2. E1 = {3,6} 3. E2 = {1,2,3} ตัวอย่างที่ 2  ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักศึกษากลุ่มหนึ่ง ซึ่งได้คะแนนสูงสุดเท่ากับ 50 คะแนนต่ำสุด 20 คะแนน แซมเปิลสเปส (S) คือ { 20 < X < 50} เมื่อ X เป็นค่าหนึ่ง ๆ เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้น้อยกว่า 30             E1 = { 20 < X < 30}  เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้คะแนนสูงกว่า 40             E2 = {40 < X < 50}

แบบฝึกหัดเรื่อง ความน่าจะเป็น

จงเติมคำตอบที่ถูกค้องลงในช่องว่าง
 ถ้านักเรียนซื้อสลากออมสินมา  1  ฉบับ
  - เป็นไปได้หรือไม่ที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง...................................................................
  - โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่งมากหรือน้อย..............................................................
 ในชีวิตประจำวันอาจต้องอาศัยความรู้เรื่อง ความน่าจะเป็น เพื่อการตัดสินใจเหตุการณ์บางอย่าง
 การทดลองสุ่ม  คือการกระทำที่ทำให้ทราบผลทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นว่ามีอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแม่นยำว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดที่เป็นไปได้ เช่น การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง เป็นการทดลองสุ่ม ผลทั้งหมดที่ได้มีอยู่.....................แบบคือ...............................
 ในการทดลองสุ่มนั้นถ้ากำหนดเงื่อนไขต่างกัน ผลของการทดลองสุ่มทั้งหมดที่ได้จะต่างกัน ถ้าเงื่อนไข ไม่คำนึงถึงอันดับ ของสิ่งที่จะเกิดขึ้น ก็เขียนผลของการทดลองสุ่มที่ได้โดย ไม่ใช้คู่อันดับ แต่ถ้าเงื่อนไข คำนึงถึงอันดับ ของสิ่งที่จะเกิดก็จะใช้คู่อันดับ ในการเขียนแสดงผลการทดลองสุ่ม เช่น
 หยิบลูกบอล 2 ลูก  จากกล่องที่มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก  สีขาว 1 ลูก  และสีเขียว 1 ลูก โดย
       ก. หยิบทีละลูกโดยหยิบครั้งแรกแล้วไม่ใส่คืน
 ผลทั้งหมดที่ได้มี..............................แบบคือ..........................................................................
       ข. หยิบทีละลูกโดยหยิบครั้งแรกแล้วใส่คืน
 ผลทั้งหมดที่ได้มี..............................แบบคือ..........................................................................
             ................................................................................................................................................
       ค. หยิบพร้อมกันทั้งสองลูก
 ผลทั้งหมดที่ได้มี..............................แบบคือ..........................................................................
 
 การหาผลทั้งหมดที่ได้จากการทดลองสุ่มอาจใช้แผนภาพช่วย เช่น การโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง ในแต่ละครั้ง เหรียญจะขึ้นหัวหรือก้อยเท่านั้น ถ้าให้  H  แทนหัวและ  T แทนก้อย จะใช้แผนภาพช่วยเขียนผลทั้งหมดได้ดังนี้
 ผลที่อาจจะเกิด  ผลที่อาจเกิด          ผลที่อาจเกิด  ผลทั้งหมด
          จากการโยนครั้งที่ 1        จากการโยนครั้งที่ 2      จากการโยนครั้งที่ 3                 ที่อาจเกิดขึ้น
 ดังนั้นผลทั้งหมดที่ได้จากการโยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง มี........................แบบคือ...................
............................................................................................................................................................. แบบฝึกหัดที่ 1
เขียนผลทั้งหมดที่ได้จากการทดลองสุ่มต่อไปนี้
1. หยิบไพ่ 1 ใบจากไพ่ 1 สำรับ
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. ทำข้อสอบซึ่งมีคำตอบจริงหรือเท็จจำนวน 2 ข้อ
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. สำรวจเพศของบุตรในครอบครัวที่มีบุตร 3 คน
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
4. จัดการแข่งขันแบบพบกันทั้งหมดรอบแรกของทีมสีเหลือง  สีชมพู  สีม่วง  สีแสดและสีฟ้า
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
5. เขียนจำนวน 2 หลัก จากเลข 0 , 2, 5, 7 , 9 โดยใช้เลขซ้ำกันได้
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
6. เลือกตัวอักษร 2 ตัว โดยเลือกตัวแรกจากคำว่า “สาย” และเลือกอีก 1 ตัวจากคำว่า “เสมอ”
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
7. ทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน
 ผลทั้งหมดที่ได้มี....................แบบคือ....................................................................................
.............................................................................................................................................................
 เหตุการณ์ คือ ผลของการทดลองสุ่มบางอย่างที่เราสนใจ เช่น จากการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน
1. สนใจเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7
      เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มี....................แบบคือ.................................................
............................................................................................................................................................. 2. สนใจเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นเลขคี่ทั้งสองลูก
      เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มี....................แบบคือ.................................................
.............................................................................................................................................................
3. สนใจเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็นจำนวนที่ 3 หารลงตัว
      เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มี....................แบบคือ.................................................
.............................................................................................................................................................
4. สนใจเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มไม่เกิน  12
      เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มี....................แบบคือ.................................................
.............................................................................................................................................................
5. สนใจเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มน้อยกว่า  2
      เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มี....................แบบคือ.................................................
.............................................................................................................................................................
 จะเห็นว่าเหตุการณ์โดยทั่วไปเป็นบางส่วนของผลทั้งหมดที่ได้จากการทดลองสุ่ม แต่เหตุการณ์ในข้อ 4 เป็นผลที่ได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม เรียกเหตุการณ์ชนิดนี้ว่า  เหตุการณ์ที่แน่นอน และเรียกเหตุการณ์ในข้อ 5 ซึ่งไม่อาจเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่มดังกล่าวว่า เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ แบบฝึกหัดที่ 2
1. จากการทดลองสุ่มหยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ
 ก. เหตุการณ์ที่หยิบได้  K โพแดงมี.....................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ข. เหตุการณ์ที่หยิบได้ข้าวหลามตัดมี....................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ค. เหตุการณ์ที่หยิบได้  7 มี...........................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ง. เหตุการณ์ที่หยิบได้ไพ่สีดำมี.......................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 จ. เหตุการณ์ที่หยิบได้ A โพแดงและ A โพดำมี.......................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
2. จากการทดลองสุ่มในการสำรวจเพศของบุตรในครอบครัวที่มีบุตร 3 คน
 ก. เหตุการณ์ที่ได้บุตรชายอย่างน้อย 2 คนมี............................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ข. เหตุการณ์ที่ได้บุตรคนแรกเป็นหญิงมี..........................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ค. เหตุการณ์ที่ได้บุตรเป็นเพศเดียวกันทั้งหมดมี.........................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
3. จากการทดลองสุ่มในการเขียนจำนวน 2 หลัก จากเลข 0 , 2 , 5 , 7 , 9 โดยใช้เลขซ้ำกันได้
 ก. เหตุการณ์ที่ได้จำนวนซึ่ง 2 หารได้ลงตัวมี........................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ข. เหตุการณ์ที่ได้จำนวนเป็นเลขคี่ทั้งสองหลักมี 9 แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
 ค. เหตุการณ์ที่ได้จำนวนซึ่งมีผลรวมของเลขหลักทั้งสอง ไม่เกิน 5 ปีมี....................แบบคือ
                  ...........................................................................................................................................
4. จากการทดลองสุ่มในการเลือกตัวอักษร 2 ตัว โดยเลือกตัวแรกจากคำว่า “สาย”และเลือกอีก 1 ตัวจากคำว่า “เสมอ”
 ก. เหตุการณ์ที่ได้พยัญชนะทั้ง 2 ตัวมี........................แบบคือ................................................
                  ...........................................................................................................................................
 ข. เหตุการณ์ที่ได้พยัญชนะตัวเดียวกันมี....................แบบคือ................................................
                  ...........................................................................................................................................
 ค. เหตุการณ์ที่ได้สระทั้ง 2 ตัวมี........................แบบคือ.........................................................
                  ...........................................................................................................................................  ความน่าจะเป็นหรือโอกาส คือ จำนวนที่บอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นมากหรือน้อยเพียงใด เช่น  การทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันนั้น  โอกาสที่จะได้ผลรวมของแต้มเป็น 7 มีอยู่......................แบบจากผลทั้งหมด.....................................แบบ
 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการได้ผลรวมของแต้มเป็นเป็น  7  เท่ากับ...................................
 - ความน่าจะเป็นของการที่ได้แต้มเป็นเลขคี่ทั้งสองลูก  เท่ากับ.............................................
    ............................................................................................................................................
 - โอกาสที่จะได้ผลรวมของแต้มเป็นจำนวนที่ 3 หารลงตัว เท่ากับ.........................................
                  ...........................................................................................................................................
 - ความน่าจะเป็นของการได้ผลรวมของแต้มไม่เกิน  12   เท่ากับ...........................................
                  ...........................................................................................................................................
 - โอกาสที่จะได้ผลรวมของแต้มน้อยกว่า  2  เท่ากับ..............................................................
                  ...........................................................................................................................................
** ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับ จำนวนผลที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์นั้นๆ หารด้วย จำนวนผลทั้งหมดที่ได้จากการทดลองสุ่ม ทั้งนี้ผลที่จะเกิดแต่ละตัวต้องมีโอกาสเกิดเท่าๆกัน
 จะเห็นว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่แน่นอนมีค่าเป็น........................และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีค่าเป็น............................
** ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆมีค่าตั้งแต่...........................ถึง..........................** แบบฝึกหัดที่ 3
1.  จากแบบฝึกหัดที่ 2 ข้อ 1 จงหา
 ก. โอกาสที่จะหยิบได้ K โพแดง   =........................................................
 ข. ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ข้าวหลามตัด  =........................................................
 ค. ความน่าจะเป็นที่หยิบได้  7   =........................................................
 ง. โอกาสที่จะหยิบได้ไพ่สีดำ   =........................................................
 จ. ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ A โพแดงและ A โพดำ   =....................................................
2. จากแบบฝึกหัดที่ 2 ข้อ 2  จงหา
 ก. โอกาสที่จะได้บุตรเป็นชายอย่างน้อย 2 คน  ................................................
 ข. ความน่าจะเป็นที่ได้บุตรคนแรกเป็นหญิง  ................................................
 ค. โอกาสที่จะได้บุตรเป็นเพศเดียวกันทั้งหมด  ................................................
3. จากแบบฝึกหัดที่ 2 ข้อ 3
 ก. ความน่าจะเป็นที่ได้จำนวนซึ่ง 2 หารลงตัว  ................................................
 ข. โอกาสที่จะได้จำนวนเป็นเลขคี่ทั้งสองหลัก  ................................................
 ค. โอกาสที่ได้จำนวนซึ่งมีผลรวมของเลขหลักทั้งสองไม่เกิน 5 ..................................
4. จากแบบฝึกหัดที่ 2 ข้อ 4
 ก. ความน่าจะเป็นที่ได้พยัญชนะทั้ง 2 ตัว    ................................................
 ข. โอกาสที่จะได้พยัญชนะตัวเดียวกัน   ................................................
 ค. โอกาสที่ได้สระทั้ง 2 ตัว    ................................................  ในการโยนเหรียญ 2 อันพร้อมกัน นักเรียนคนหนึ่งตอบว่า ผลทั้งหมดที่จะเกิดมี 3 แบบคือ หัว , ก้อย ,กลาง และโอกาสที่จะเกิดกลางคือ    ส่วนนักเรียนอีกคนหนึ่งตอบว่าผลทั้งหมดที่จะเกิดมี 4 แบบคือ (H , H) , (H , T) , (T , H) , (T , T) และโอกาสที่จะเกิดกลางคือ  
              - นักเรียนคนแรกหรือคนหลังที่หาค่าความน่าจะเป็นได้ถูกต้อง...........................................
 - เพราะเหตุใด....................................................................................................................... แบบฝึกหัดที่ 4
1. ใส่ลูกเต๋า 1 ลูกลงในถ้วยแก้ว เขย่าแล้วเทออก จงหา
 ก. โอกาสที่จะได้แต้มเป็น 6 .........................................................................................
 ข. โอกาสที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคี่  .............................................................
 ค. โอกาสที่จะได้แต้มเป็นจำนวนที่ไม่น้อยกว่า  3      ........................................................
 ง. โอกาสที่จะได้แต้มเป็นจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนคู่.........................................................
 จ. โอกาสที่จะได้แต้มเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ 4  .............................................................
 ฉ. โอกาสที่จะได้แต้มเป็นจำนวนไม่มากกว่า 2 .............................................................
2. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดสีแดง 5 เม็ด สีเหลือง 2 เม็ด หยิบขึ้นมารับประทาน 1 เม็ดโดยไม่ดู จงหา
 ก. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีเหลือง .............................................................
 ข. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแสด .............................................................
 ค. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดที่ไม่ใช่สีเหลือง ...............................................
3. ทำสลาก  10  ใบ เขียนเลข 1 ถึง 10 แล้วม้วนใส่ไว้ในกล่อง หยิบสลาก 1 ใบขึ้นมาโดยไม่ดู จงหา
 ก. โอกาสที่จะหยิบได้สลากเป็นเลขน้อยกว่า 8 ............................................................
 ข. โอกาสที่จะหยิบได้สลากเป็นจำนวนคู่  .............................................................
 ค. โอกาสที่จะหยิบได้สลากเป็นจำนวนคี่เฉพาะ .............................................................
 จ. โอกาสที่จะหยิบได้สลากเป็นจำนวนที่มากกว่า 6 .............................................................
4. จากการโยนเหรียญ 1 อันและลูกเต๋า 1 ลูกพร้อมกัน จงหา
 ก. ผลทั้งหมด..........................................................................................................................
 ข. โอกาสที่เหรียญออกก้อยและลูกเต๋าขึ้นแต้มคี่....................................................................
 ค. ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวและลูกเต๋าขึ้นแต้มมากกว่า 4 ......................................
5. ปัญญามีกางเกง 3 ตัวสีเขียว , เทา , ดำ และเสื้อ 2 ตัวสีเทา , ฟ้า จงหา
 ก. ผลทั้งหมดที่เขาจะเลือกแต่งตัว  ...........................................................................
 ข. โอกาสที่เขาจะใส่กางเกงและเสื้อสีต่างกัน     ....................................................................
 ค. โอกาสที่เขาจะใส่เสื้อผ้าสีฟ้า  ...........................................................................
 ง. โอกาสที่เขาจะใส่กางเกงสีดำ  ...........................................................................
 จ. โอกาสที่เขาจะใส่กางเกงและเสื้อสีเดียวกัน    ...................................................................
6. ก , ข และ ค ยืนถ่ายรูปเรียงแถวหน้ากระดานทั้ง 3 คน  จงหา
 ก. ผลทั้งหมด  ......................................................................................................
 ข. ความน่าจะเป็นที่ ก จะยืนหัวแถว หรือท้ายแถว    ............................................................
 ค. โอกาสที่ ก และ ค ยืนติดกัน   .............................................................
7. ในการจำหน่ายตั๋วชิงรางวัล 100 ใบ ควรจะซื้อตั๋วกี่ใบ
 ก. เพื่อให้โอกาสที่จะถูกรางวัลเป็น    จะต้องซื้อตั๋ว...................................................ใบ
             ข. เพื่อให้ความน่าจะเป็นที่จะถูกรางวัลมีค่า 10% จะต้องซื้อตั๋ว........................................ใบ
             ค. เพื่อให้โอกาสที่จะถูกรางวัลเป็น 0.25    จะต้องซื้อตั๋ว...................................................ใบ
             ง. เพื่อให้ความน่าจะเป็นที่จะถูกรางวัลมีค่า         จะต้องซื้อตั๋ว........................................ใบ
             จ. เพื่อให้โอกาสที่จะถูกรางวัลเป็น 0          จะต้องซื้อตั๋ว...................................................ใบ
         ฉ. เพื่อให้ความน่าจะเป็นที่จะถูกรางวัลมีค่า 100% จะต้องซื้อตั๋ว.......................................ใบ

8. กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 12 ลูกและลูกบอลสีเหลืองจำนวนหนึ่ง ถ้าความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอลลูกหนึ่ง เป็นสีเหลืองเท่ากับ    จงหาจำนวนลูกบอลสีเหลืองในกล่องนี้
....................................................................... ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................... ....................