เรื่องแรกเกี่ยวกับ เรขาคณิตของฟองสบู่ ซึ่งถูกจัดอยู่ในเรขาคณิตสมัยใหม่
เนื่องจากความรู้แบบเก่า ไม่พอในการแก้ปัญหา ส่วนเรื่องที่สอง เป็นการหาแผ่นที่มีพื้นที่น้อยสุด
ที่สามารถปิดทับเส้นโค้งความยาวหนึ่งหน่วย ได้ทุกเส้น ปัญหานี้ถูกจัดในเรขาคณิตแบบฉบับ
เนื่องจากใช้ความรู้แบบเก่าในการแก้ปัญหา

ในธรรมชาติ ฟองสบู่พยายามขังอากาศโดยใช้พื้นผิวน้อยสุด นักคณิตศาสตร ์ได้ขยายปรากฏการณ์นี้
ไปเป็นคำถามทั่วไปว่า วิธีใดสามารถขังปริมาตร n อันที่กำหนดให้ โดยใช้พื้นผิวน้อยสุด

ในสองมิติเราก็สามารถสร้างคำถามคล้ายกันนี้ได้ คือเราจะสนใจว่าวิธีใดสามารถขังพื้นที่
n อันที่กำหนดให้ โดยใช้เส้นรอบรูปน้อยสุด เราอาจนับว่ามนุษย์ได้สนใจปัญหานี้มาหลายพันปีแล้ว
ก่อนที่เราจะค้นพบวิธีเขียนหนังสือ เราก็ได้ข้อทึกทักแล้วว่า วงกลมเป็นวิธีล้อมพื้นที่ที่กำหนดให้
โดยใช้เส้นรอบรูปน้อยสุด ดังปรากฏในประวัติศาสตร์เกี่ยวกับการล้อมพื้นที่ให้มากที่สุด
โดยใช้เชือก ที่กำหนดให้ ก็มีผู้เสนอให้ล้อมเป็นวงกลม แต่เป็นที่น่าแปลกใจว่าเราเพิ่งจะพิสูจน์ข้อทึกทักนี้กันไปเมื่อ
120 กว่าปีที่แล้วเอง ปัญหาเหล่านี้ล้วนแต่ยากเกินกว่าที่เราจะคาดคิด

ลองดูปัญหาที่ถือว่าใกล้เคียงกับปัญหานี้สักปัญหาหนึ่งที่ถูกเรียกว่าปัญหารวงผึ้ง
มนุษย์เรามั่นใจว่ารวงผึ้งเป็นวิธีการแบ่งระนาบออกเป็นพื้นที่เท่า ๆ กันโดยใช้เส้นรอบรูปน้อยสุด

ชาร์ล ดาวิน บิดาแห่งทฤษฎีวิวัฒนาการเองก็เคยเขียนเหมือนของง่ายที่ชัดเจน
ในตัวเองว่า ผึ้งได้ถูกคัดเลือกทางธรรมชาติ ผึ้งที่เหลืออยู่ทำรังเป็นหกเหลี่ยม เนื่องจากเป็นรูปทรงที่ใช้ขี้ผึ้งน้อยสุด
ในการแบ่งรวงออกเป็นช่องเท่า ๆ กัน ใครอ่านเขาก็เชื่อกันหมด แต่รู้ไหมว่านักคณิตศาสตร์ดัง
ๆ หลายคนได้ล้มหายตายจากไป พร้อมกับความผิดหวังที่จะพิสูจน์ข้อสังเกตุนี้ นักเรขาคณิตสมัยใหม่ที่มีความรู้เต็มพิกัดเพิ่งจะพิสูจน์เรื่องรวงผึ้งได้เมื่อห้าปีกว่าที่ผ่านมานี้เอง
ความยากมันอยู่ตรงไหนกันนะ ลองนึกดูก่อนว่าคุณเห็นด้วยไหมว่าถ้ากำหนดพื้นที่สองค่าให้
วิธีที่จะขังแยกสองบริเวณให้ได้พื้นที่เป็นสองค่านั้นจะเป็นรูป

และสำหรับสามพื้นที่น่าจะดีที่สุดถ้าขังแยกด้วยรูป

ด้วยเหตุนี้เอง ปัญหาจึงดูง่ายมาก แต่สิ่งที่เป็นเส้นผมบังตาเราก็คือ
เรามั่นใจได้อย่างไรว่าแต่ละพื้นควรจะติดกันเป็นชิ้นเดียว และนี่ก็เป็นความยากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดสำหรับการแก้ปัญหานี้
เราต้องแสดงให้เห็นว่าหากบางบริเวณแตกเป็นหลายชิ้นแต่พื้นที่รวมกันเป็นหนึ่งในพื้นที่ที่กำหนดมา
มันจะมีความยาวรวมมากกว่ารูปที่เราคิดว่าดีที่สุด

สำหรับสองพื้นที่ได้มีการพิสูจน์ว่ารูปแรกเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการขังแยก
และเพิ่งพิสูจน์ไปประมาณ 12-13 ปีที่ผ่านมา

ส่วนกรณีสามพื้นที่ นั้นไม่มีใครกล้าแตะอย่างจริงจังจนกระทั่งผมเริ่มลงมือทำเป็นวิทยานิพนธ์ปริญญาเอก
ก้าวกระโดดแรกที่เกิดขึ้นก็คือการจำกัดจำนวนชิ้นของแต่ละพื้นที่ พบว่าจะมีบริเวณหนึ่งที่มีไม่เกินสามชิ้น
ข้อจำกัดนี้ทำให้เรากำจัดรูปร่างต่างของการขังแยกที่เข้าประกวดชิงการมีเส้นรอบรูปน้อยสุด
งานใหญ่ที่เหลือจึงเป็นการกำจัดตัวขังแยกอีกประมาณพันแบบที่ยังเหลืออยู่ ในที่สุดก็เหลือแค่ตัวขังแยกดังแสดงในรูปที่สองเป็นผุ้ชนะ
งานนี้สำเร็จเมื่อต้นปี 2545

ก่อนหน้านั้นกลุ่มนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในสาขาได้ร่วมหัวกันพิสูจน์ว่าการขังแยกสองปริมาตรในสามมิติจะใช้พื้นที่ผิวน้อยสุดถ้าใช้รูปที่เกิดจากฟองสบู่สองอันแปะติดกัน
งานนี้สำเร็จในปี 2542 จากที่ผมได้ข่าวมาพวกเราคงไม่ทันได้เห็นพิสูจน์ของกรณีการขังแยกสามปริมาตร

ปัญหาการปิดทับเส้นโค้งของโมเซอร์อาจต้องเริ่มด้วยนิทานแต่งใหม่เรื่องนี้
"กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีหนอนน้อยตัวหนึ่งนอนหลับอยู่หนาวเหน็บน่าสงสาร นางฟ้ารู้เข้าก็จะเสกผ้าห่มให้
แต่ด้วยความขี้เหนียว นางฟ้าจึงพยายามใช้ผ้าห่มที่มีพื้นที่น้อยสุด ความยากมันอยู่ที่นางฟ้าไม่รู้ว่าหนอนนอนท่าไหน
รู้แต่ว่าหนอนยาวเท่าใด นางฟ้าจึงต้องทำผ้าห่มที่สามารถปิดทับเส้นคดโค้งใด ๆ ที่ยาวเท่าเจ้าหนอนได้ทุกเส้น"
นิทานเรื่องนี้ยังไม่มีคำตอบ และท่าทางมนุษย์เราจะไม่มีทางพบคำตอบเสียด้วย มันยากจริง
ๆ โมเซอร์ได้ตั้งปัญหานี้ขึ้นมาเกือบสี่สิบปีแล้ว แต่ความก้าวหน้าก็มีน้อยมาก

ดังที่จอห์น เว็ทเซล ปรมาจารย์ทางด้านนี้ได้กล่าวไว้ว่าคนเราเหมือนไม่รุ้อะไรเลยเกี่ยวกับเส้นในระนาบ
เพื่อแก้ขัด นักคณิตศาสตร์ได้แตกปัญหานี้ออกเป็นสามลู่ทางเล็ก

กลุ่มที่หนึ่ง ก็ลดความซับซ้อนของเส้นโค้ง
เช่นให้เหลือเพียงแค่เส้นโค้งทางเดียว ไม่เลี้ยวซ้ายขวาตามใจชอบ หรือบางพวกก็สนใจเฉพาะเส้นโค้งปิดที่หัวท้ายติดกัน

กลุ่มที่สอง มองที่แผ่นปิดทับ เช่นพิจารณาแข่งกันเฉพาะแผ่นสามเหลี่ยม
หรือแผ่นที่ไม่มีรูไม่เว้า

กลุ่มที่สาม มองเรื่องการนำแผ่นไปปิดทับ เช่นไม่อนุญาตให้หมุนแผ่นปิดทับ
เลื่อนไปมาได้อย่างเดียว