ลอการิทึม (logarithm) เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ค่าลอการิทึมของจำนวนหนึ่งโดยกำหนดฐานไว้ให้ จะมีค่าเทียบเท่ากับ การเอาฐานมายกกำลังค่าลอการิทึม ซึ่งจะให้คำตอบเป็นจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น        

ลอการิทึมของ 1000 ในฐาน 10 มีค่าเป็น 3 เพราะว่า 10 คูณกัน 3 ตัวแล้วได้ 1000 นั่นคือ 10 × 10 × 10 = 1000     

ลอการิทึมของ 32 ในฐาน 2 มีค่าเป็น 5 เพราะว่า 2 คูณกัน 5 ตัวแล้วได้ 32 นั่นคือ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

ถ้าเขียนด้วยสัญลักษณ์ยกกำลังจะได้ว่า      

10³ = 1000 ดังนั้น log₁₀ 1000 = 3      

2⁵ = 32 ดังนั้น log₂ 32 = 5

ลอการิทึมของ x ในฐาน b เขียนแทนด้วย log _b x หรือถ้าฐานมีค่าใด ๆ เป็นปริยาย จะเขียนเพียงแค่ log x (ไม่จำเป็นต้องใส่วงเล็บรอบ x) ดังนั้นสำหรับจำนวน x ฐาน b และเลขชี้กำลัง y ที่สามารถเป็นไปได้x = b^y            y = log _b x
*เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น log _b x หมายถึง b ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเท่าไร จะเท่ากับ x
*ลอการิทึมฐาน 10 เป็นลอการิทึมที่พบบ่อยและมักจะไม่นิยมเขียนเลขฐานกำกับไว้โดยตกลงว่าเมื่อ   เขียนลอการิทึมที่ไม่มีฐานแสดงว่าเป็นลอการิทึมฐาน 10 เรียกว่า “ลอการิทึมสามัญ”

กราฟของลอการึทิม
กราฟนี้จะแสดงตัวอย่างกราฟของ
ฟังก์ชัน ; y = log _a x  a > 1 และ ฟังก์ชัน ; y = log _a x  0< a <1

  

คุณสมบัติ  7  ประการของลอการิทึม มีดังนี้                                   

1. สมบัติการบวก                               
log _a M + log _a N  =  log _a ( M*N )
Example จงรวมพจน์ของ log ₂ 3 +  log ₂ 4  + log ₂ 6               
Sol   log ₂  3 + log ₂ 4 + log ₂ 6 =  log ₂ (3 * 4 * 6)
                                            =  log ₂ 72 #                           

2. สมบัติการลบ                               
log _a M  -  log _a N =  log _a (M/N)
Example จงรวมพจน์ของ log ₂ 5  -  log ₂ 10               
Sol     log ₂ 5  -  log  ₂ 10    =  log ₂ (5/10)       
                                      =  log ₂ (1/2)  #                             

3. สมบัติของเลขลอการิทึม ที่เท่ากับเลขฐาน 
log _a a =  1   ,  เมื่อ   a  >  0   และ  a  ≠  1
Example จงหาค่าของ log ₃ 3
Sol             log ₃ 3 =  1        #
** การนิยามในลอการิทึม   จะไม่นิยามให้เป็นจำนวนลบ **  

4. สมบัติของลอการิทึม 1 
log _a 1  =  0 ,  เมื่อ  a  >  0
* เหตุที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะหากว่าเราเขียนกลับจากรูปลอการิทึม
log _a 1 =  0  จะได้เลขยกกำลังเป็น  a⁰  =  1  แต่ a เป็น  -  หรือ  0  ไม่ได้

5. สมบัติเลขยกกำลังของลอการิทึม                      
log _a M^P  =   P *  ( log _a M )
* คุณสมบัตินี้บอกให้เรานำเลขชี้กำลังของลอการิทึมมาไว้ด้านหน้า เพื่อนำมาคูณกับเลขลอการิทึม  *
Example   log ₅ 125x   =  ?               
Sol         log ₅ 125x             =  log ₅ 5³ * x        
                                       =  log ₅ 5³  +   log ₅ x      
                                       =  3 * log ₅ 5  + log ₅ x            
                                       =  3*1  +  log ₅ x  
                                       =  3  +  log ₅ x  #                          

6. คุณสมบัติฐานลอการิทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้ 
log _a^P M        =   (1/P)*  ( log _a M ) 
Example   log ₈ 7          =   ?                
Sol          log ₈ 7          =   log ₂³ 7 
                                 = (1/3) * log ₂ 7  #                             

7. คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
log _b  a   =   (log _c a) / (log _c b) = 1 / (log _a b), เมื่อ  a,b,c > 0 และ c,b,  ≠  1  
*คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานได้นี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหาสมการลอการิทึม คุณสมบัตินี้บอกว่า
หากเราไม่พอใจฐานลอการิทึมที่โจทย์กำหนดมา เราสามารถเปลี่ยนฐานลอการิทึมใหม่ได้ตามต้องการ แต่ต้องมากว่า 0
และไม่เท่ากับ 1 ซึ่งมักเปลี่ยนเป็นฐาน 10
Example    จงเปลี่ยน    log ₃ 5 เป็นฐาน 10               
Sol                log ₃ 5  =   (log₁₀ 3) / (log₁₀ 5)  #

ตัวอย่างโจทย์ ลอการิทึม

1.กำหนดให้ a,b,c > 1 ถ้า log _a d = 30, log _b d = 50 และ log _abc d = 15 จงหา log _c d
sol      log _a d = 30 ตามคุณสมบัติข้อ7 จะได้          1/(log _d a) = 30
                                                                      log _d a  = 1/30 ----- 1
          และจะได้                                                 log _d b  = 1/50 ----- 2
          และจะได้                                               log _d abc = 1/15 ------ 3
          นำสมการที่1 และ 2 มาบวกกันจะได้     log _d a + log _d b = 1/30 + 1/50
                                                                     log _d ab = 8/150
          แล้วนำสมการที่3 มาลบด้วยสมการที่2 จะได้    log _d abc - log _d ab = 1/15 - 8/150
                                                            log _d (abc/ab) = 2/150
                                                                      log _d c = 1/75
          ดังนั้นจะได้คำตอบว่า                                   log _c d = 75 #

แหล่งอ้างอิง

วิกิพีเดีย และ

บทความ โดย นายอานนท์ นามวรรณ (ในช่องแหล่งอ้างอิงใส่linkลำบากครับ linkยาว)